Magnitudes escalares y vectoriales
Las magnitudes física se pueden separar en dos grupos de acuerdo
a su
naturaleza general, al primer grupo pertenecen aquellas magnitudes que
pueden tratarse algebráicamente como cantidades sin una
dirección ni
sentido asociado. Tales magnitudes se les llama escalares.
La declaración de que la masa de una manzana es de 0.25 kg dice
todo lo
que hace falta saber sobre la masa, de hecho, no hace falta definir una
dirección. Lo mismo sucede con el tiempo que transcurre cuando
la
manzana cae al suelo desde nuestras manos. Otros ejemplos de magnitudes
escalares pueden ser la temperatura,
la carga
eléctrica, la energía de
un cuerpo en movimiento. Algunas magnitudes escalares siempre son
algebráicamente positivas como la masa, pero otras como la carga
eléctrica puede ser positiva o negativa.
No obstante hay otras cantidades físicas que no pueden
describirse a
plenitud usando escalares. Por ejemplo, para especificar la velocidad
de la manzana al caer, no es suficiente con el valor de la velocidad
(cuan rápido se mueve), también hace falta la
dirección y el sentido en
que se mueve. A estas magnitudes se les llama vectoriales,
y en la práctica se representan con flechas ( vectores), cuya magnitud
está
definida por el tamaño a escala de la flecha, la
dirección por la
dirección de la linea de la flecha y el sentido por la saeta en
uno de
sus extremos.
Se necesitan vectores para definir velocidad, fuerza, campo
eléctrico y
numerosas otras cantidades, y el papel de los vectores es muy
importante en la física. En este artículo vamos a hacer
un resumen de
sus propiedades.
El vector desplazamiento.
Para ilustrar, usemos como ejemplo al desplazamiento.
El
desplazamiento
es la diferencia entre la última posición de un punto o
cuerpo que se
ha movido y la posición inicial y nos servirá para
describir muchas propiedades de los vectores. Para entender la
naturaleza vectorial del desplazamiento, imagine que necesita encontrar
una tapa de un
conducto soterrado en el patio de su casa. El conducto es el de
desagüe
de la casa y está tupido, si encuentra la tapa, la podrá
abrir y
destupir el conducto. Dispone de un documento rústico dejado por
el
dueño anterior con instrucciones de como llegar a la tapa oculta
bajo
la tierra.
La primera instrucción dice que hay que caminar desde la puerta
de la
casa (posición A) 20 pasos al noreste (posición B); las
segunda, que
luego debe caminar 20 pasos al este (posición C) y allí
estará la tapa.
Note que en ambas instrucciones han sido necesarias especificar dos
cuestiones, una de cantidad (los pasos) y otra de sentido y
dirección
(noreste y este).
Estas instrucciones
podían
haberse mostrado con un dibujo simple como se muestra en la figura 1.
Observe que cada instrucción puede ser completamente definida
usando un
vector (flecha) donde la magnitud (cantidad de pasos) se corresponde
con la longitud de la flecha, la segunda (la dirección) al
ángulo con
la linea norte y la tercera (el sentido) con el indicado por la saeta
en el extremo.
Operaciones con vectores.
Suma.
El resultado de dos desplazamientos consecutivos es también un
desplazamiento que llamaremos desplazamiento
neto. El desplazamiento neto en nuestra búsqueda de la
tapa puede verse en la figura 2 como una flecha azul, y se le llama vector resultante o vector suma.
Si acudimos a la figura 3 y llamamos V1 al vector de la
primera instrucción (los primeros 20 pasos al noreste) y V2
al de la segunda (20 pasos al este), el vector resultante, R, (la flecha azul)
resultará la suma de los dos desplazamientos consecutivos, de
manera que:
La suma de vectores es conmutativa,
es decir, no importa el orden en que se agreguen los vectores, el
resultado final será el mismo. Véase en la figura 3.
En ella, aunque se mantienen dibujados los vectores originales para
comparar, se han trazado nuevos vectores con lineas discontinuas
cambiado el orden, es decir primero los 20 pasos al este y luego los 20
al noreste, note que el resultado es el mismo, de todas maneras
llegamos a la tapa que buscamos. Lo que se puede resumir como:
Se desprende de lo anterior que para sumar dos vectores, se coloca la
"cola" de uno de ellos en la punta del otro, sin importar el orden, y
la suma será el vector
resultante.
Otra característica de la suma de vectores es que es asociativa.
Para entenderlo agreguemos otra instrucción al documento
original,
digamos que la tercera instrucción dice que después de
dar los 20 pasos
al este hay que dar 10 pasos al sur.
En la figura 4 se puede ver la adición de la última
instrucción como el vector V3 ahora hay un nuevo
vector suma R producto de
enlazar los extremos de los tres vectores involucrados. Observe que
también se ha trazado el vector suma de V1 + V2 y se ha llamado
R1 . Del simple
análisis del gráfico se puede llegar a la
conclusión de que:
| R
= V1 + V2 + V3
= (V1 + V2) + V3
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Si dibuja el gráfico correspondiente verá que el
resultado será el mismo para el caso de sumar primero V1 + V3 y luego
agregarle a V2 de forma que:
| R
= V1 + V2 + V3
= (V1 + V3) + V2
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Los vectores que representan cantidades físicas diferentes a
desplazamiento se comportan de la misma forma.
Por ejemplo, supongamos que Aladino va montado en su alfombra que viaja
de sur a norte a la velocidad v1
, pero el mimo tiempo está caminando sobre la alfombra
diagonalmente hacia el sureste a una velocidad v2
. ¿Cuál será
su velocidad neta con respecto al suelo vn?
La respuesta es simple, como la velocidad es una magnitud vectorial, la
velocidad neta de Aladino con respecto al suelo será la suma
vectorial v1
+ v2
. Veámoslo gráficamente en
la figura 5.
En la figura 5 se
han sumado los dos vectores velocidad a los que se mueve Aladino, el
primero corresponde a su velocidad debido al movimiento de la alfombra v1
(al norte) , y luego el correspondiente a su movimiento propio sobre
ella v2
(al sureste).
Observe que la velocidad resultante es de magnitud menor que la de la
alfombra (la flecha mas corta) y está en un rumbo próximo
al noreste.
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Figura 5
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Figura 1
Figura 2
Figura 3
Figura 4
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Componentes
Figura 6
Figura 7
Figura 8
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Es conveniente, en la
mayor parte de los casos, usar ejes
coordenados
para situar puntos. En un ambiente bi-dimensional, como el plano de la
superficie de una mesa, solo necesitamos especificar dos ejes
mutuamente perpendiculares, el eje x
y el eje y (figura 6) que se
cortan en el punto O y que se llama origen.
Un punto P se puede situar
dando sus dos coordenadas (x1, y1),
es decir, cuanto lejos está
del origen O, en la dirección del eje x
, y en la dirección del
eje y . También se
puede definir la posición del punto P
con el uso del vector de posición
V que se extiende
desde el origen
hasta el punto P.
La distancia desde el origen (O) hasta x1 se denomina el componente x del vector de
posición V, y aquella
desde el origen hasta y1
el componente y del vector V.
En otras palabras los componentes de un vector son sus proyecciones
sobre los ejes coordenados. Algo así como su fueran sus sombras
en los
ejes al ser alumbrados horizontal y verticalmente en cada caso.
Fijémonos ahora en la figura en la figura 7. Podrá ver
que el vector de posición del punto P
(que vamos a considerar un
vector de desplazamiento), corresponde
al vector resultante, o suma, de dos vectores de magnitudes iguales a
las proyecciones de V en los
ejes coordenados y dirigidos a partir del origen. A estos se les llama
los vectores componentes, lo
que significa que el vector desplazamiento (o de posición) del
punto P se puede descomponer
en dos vectores componentes, los que sumados, definen por completo el
desplazamiento P.
Otra forma de situar con exactitud el punto P es usando el
ángulo que
forma el vector de posición, con alguno de los ejes coordenados.
En el
dibujo de la figura 7 el ángulo θ y la longitud del vector de
posición definen por completo la situación del punto P. Finalmente concluimos que:
Un vector se puede definir de dos formas,
o bien dando una magnitud V y el ángulo θ que forma con alguno de los ejes
coordenados, o bien por sus componentes sobre los ejes x e y.
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Vectores en tres
dimensiones.
Hasta ahora hemos visto los
vectores en dos dimensiones, pero estos responden igual en un sistema
tri-dimensional. Usemos la figura 8.
Para poder definir el punto P
en el sistema espacial tenemos que acudir a tres ejes mutuamente
perpendiculares que se cortan en el origen, esto es se ha agregado el
eje z. En tal
disposición los ejes forman un sistema euclidiano o cartesiano (aunque a la
disposición con solo dos ejes también se le llama
cartesiano).
En este caso la definición total de la posición del punto P se hace a
través de los componentes en los tres ejes, (x1,
y1, z1) ,
que han sido representados en color rojo.
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