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Movimiento circular

Contenido del artículo
Coordenadas polares
Movimiento circular uniforme
La aceleración en el movimiento cicular uniforme
Fuerza en el movimiento circular

Este movimiento es el que tiene una persona montada en un tiovivo o carrusel y se le llama movimiento circular uniforme cuando la rapidez de giro es constante. El movimiento circular, aunque sea constante y no lo parezca, tiene siempre una aceleración. La primera ley de Newton establece claramente que cuando un cuerpo se mueve sin la acción de influencia externa (cuerpo solo) lo hace a velocidad constante, lo que implica que es en linea recta (no cambia ni la magnitud ni la dirección). Sin embargo, el movimiento de la persona en el tiovivo no es en linea recta, lo hace en una trayectoria circular, lo que nos lleva a pensar en la presencia de una fuerza afectando la dirección "natural" del movimiento, que, de cualquier otra manera, debía ser rectilíneo. Entonces, si es evidente la existencia de una fuerza sobre la persona, de acuerdo a la segunda ley de Newton, también habrá una aceleración. Este artículo describe el movimiento.

Coordenadas polares

El movimiento circular, a diferencia del rectilíneo, se realiza en el marco de dos dimensiones, es decir en un plano. La descripción de un movimiento circular se simplifica mucho si se usan las llamadas coordenadas polares, en este ambiente, un punto se sitúa en el plano con un par de números.

La figura 1 muestra las dos coordenadas polares, ρ es la coordenada radial y ϕ la coordenada angular. Convencionalmente el ángulo ϕ se toma a partir del eje x en su lado +  y su valor se incrementa en el sentido contrario a las agujas del reloj. Este ángulo lo podemos medir por comodidad en radianes (rad), una de las razones de hacerlo es que la longitud de un arco de círculo de radio R se puede expresar como sigue:

expresión   (expresión 1)

Si el ángulo se mide en radianes: la longitud de la circunferencia es 2πR, siendo R el radio del círculo; y el ángulo total de la circunferencia es (360° = 2π rad). Por lo que sustituyendo en la expresión 1 nos queda finalmente que:

longitud de arco =        (expresión 2)

Note que los radianes son adimensionales, debido a que son el cociente de dos medidas de longitud (longitud de arco)/(radio). En un movimiento circular, ρ es fijo, e igual al radio del círculo, ρ = R, y el movimiento se puede describir con una sola variable, el ángulo ϕ que puede tener una dependencia del tiempo.

Suponga que en un movimiento en círculo, el cuerpo (como un punto), durante un intervalo de tiempo Δt  recorre un ángulo Δϕ. La longitud del arco, es decir, el espacio s, recorrido por el cuerpo corresponde a la longitud del arco, y según vimos arriba en la expresión 2 es:

ΔsRΔϕ       (ecuación 1)

Si ahora dividimos ambos lados de la igualdad por Δt nos queda:

expresión (ecuación 2)

El término de la izquierda es el cambio de posición del cuerpo con respecto al tiempo, lo que define su rapidez (considerando la rapidez como el cambio de magnitud de la velocidad, recuerde que la velocidad es un vector y aquí no tenemos en cuenta la dirección), por lo que tenemos:
Movimiento circular
Figura 1




expresión (ecuación 3)

En el término de la derecha de la ecuación 2, la relación Δϕ/Δt  es el cambio del valor de la coordenada angular (ángulo ϕ) por unidad de tiempo y la nombraremos por tanto velocidad angular ω, es decir:

velocidad angular (ecuación 4)

Finalmente, en términos de la velocidad angular nos queda que:

v = Rω      (ecuación 5)

Tenga en cuenta que para simplificar, hemos considerado un intervalo de tiempo finito Δt, sin embargo, si el movimiento circular es de velocidad angular variable, tanto la rapidez v como la velocidad angular ω  pudieron cambiar de magnitud durante el intervalo de tiempo, esto significa que estamos trabajando con valores promedio dentro del intervalo de tiempo considerado y no sus valores instantáneos.

Movimiento circular uniforme.


Hemos dicho que un movimiento circular es uniforme cuando su rapidez, o su velocidad angular, ω, son constantes. Una magnitud importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el tiempo que tarda en recorrer el círculo completo, hacer una revolución. Este tiempo se llama período y lo llamaremos T . Debido a que el espacio recorrido en una revolución es 2πR = vT , el período queda definido como:

T = 2π / ω    (ecuación 6)

La frecuencia,  f,  es la cantidad de revoluciones por unidad de tiempo y por tanto el inverso del período:

f = 1 / T     (ecuación 7)

Y la relación entre la velocidad angular y la frecuencia es:

ω = 2πf      (ecuación 8)

Normalmente la frecuencia se expresa en hercios (Hz), definido como un ciclo por segundo. Se usa también comúnmente la unidad, revoluciones por minuto (rev/min); 60 rev/min = 1Hz.

La aceleración en el movimiento circular uniforme.

Ya habíamos mencionado al comienzo del artículo que el movimiento circular debía tener necesariamente una aceleración, aun cuando su rapidez no cambia. El hecho es, que que la dirección de la velocidad cambia constantemente y como la aceleración es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo esta no es cero.

Tratar el hecho de que debe existir una aceleración, ya que la dirección de la velocidad cambia, es un método no es muy intuitivo de comprensión, por ello, y para usar una situación mas familiar supongamos que usted ha llevado a su hijo pequeño a correr por el parque, y él se divierte corriendo de un lado a otro cerca de usted. Terminado el tiempo disponible para el ejercicio le dice al niño "bueno regresemos a casa", pero como es muy común en los niños, se niega a hacerlo y continúa corriendo. De esta forma no le queda mas remedio que tomarlo por el brazo cuando pasa a cierta velocidad a su lado. ¿Qué sucede entonces?. El movimiento del menor, que era rectilíneo, se convierte en un movimiento circular alrededor de usted un cierto ángulo, hasta que por fin se detiene. Durante ese período de tiempo de movimiento circular usted pudo notar en su brazo una fuerza, cuya dirección siempre estuvo a lo largo de su brazo, es decir la linea desde el niño a usted, y que ha sido necesaria aplicar para cambiar la dirección del movimiento del niño de rectilíneo a angular, de otra manera hubiera seguido corriendo en linea recta. Note que usted está en el centro del círculo por el que se mueve el niño, así es que la fuerza realizada tiene, al parecer, una dirección radial.

Pues bien, según la segunda ley de Newton, cuando a un cuerpo se le aplica una fuerza, necesariamente se genera una aceleración, así que, de hecho, el movimiento circular impuesto, ha sido por la aplicación de una fuerza y esta ha generado en el niño una aceleración. Del ejemplo se desprenden dos conclusiones aparentes:
  1. Para mantener un cuerpo en movimiento circular hay que aplicarle una fuerza y esa fuerza va dirigida al centro del círculo.
  2. La fuerza aplicada engendra necesariamente una aceleración, que, necesariamente es en la misma dirección de la fuerza.

Demos un tratamiento ahora mas preciso al asunto.

Primero consideremos los aspectos direccionales del movimiento circular uniforme. Queremos en particular estudiar la dirección de la aceleración. La aceleración es el cambio de la velocidad por unidad de tiempo, por ello veamos primero como cambia la velocidad.

En la figura 2 imaginemos un punto determinado por el ángulo ϕ en un tiempo t. Mas tarde, al tiempo t + Δt, su posición angular está dada por el ángulo ϕ + Δϕ. La dirección del vector velocidad siempre es tangencial al círculo. En la figura 2 se muestran los vectores velocidad al tiempo t y al t + Δen color azul. El cambio del vector velocidad durante el tiempo Δt es:

Δv = v(t + Δt) - v(t)      (ecuación 9)

Este vector diferencia se muestra en la figura 3, observe que se ha hecho una resta vectorial gráfica, y para ello se ha colocado la base del vector v(t + Δt) en la base del vector v(t). Si fuera una suma hubiera sido necesario poner la base de uno de los vectores en la punta del otro.

Vemos entonces que hay un vector
Δv y por tanto una aceleración ap en la misma dirección que Δv, y esta es de magnitud:

ap = Δv / Δt    (ecuación 10)

Note que hemos anotado la aceleración como ap para significar que es una aceleración promedio del intervalo.

La aceleración calculada apunta hacia el interior del círculo y tiene la tendencia a dirigirse a su centro, pero en el caso mostrado hay cierta ambigüedad, ya que tenemos que escoger entre mover a
ap (o equivalentemente a Δv) al punto que corresponde a ϕ, o bien a  ϕ + Δϕ. Esta ambigüedad va desapareciendo a medida que hacemos a Δt mas pequeño como puede verse en la figura 4.

figura 4
Figura 4

figura 2

Figura 2


figura 3

Figura 3



En la figura 4a los puntos correspondientes a ϕ, y a  ϕ + Δϕ, están mas próximos y el vector ap  adquiere una dirección mas cercana al centro del círculo (figura 4b). Si hacemos a Δt  mas pequeño aun (y con ello a Δϕ) de forma que los dos puntos tiendan a ser uno solo, cada vez más la aceleración apuntará al centro. Para la condición límite, en la cual Δt tiende a cero la relación Δv/Δt nos da la aceleración instantánea.

La aceleración instantánea apunta exactamente al centro del círculo.
 
En un movimiento circular uniforme la rapidez del punto que gira, es decir la magnitud de la velocidad es constante y la llamaremos v. Para calcular la magnitud de la aceleración se puede deducir (pero que no haremos aquí) que:

 de acuerdo a la rapidez del punto:  a = v2 / r    (ecuación 11)

de acuerdo a la velocidad angular:  a = rω2       (ecuación 12)

Fuerza en el movimiento circular


Ya sabemos que en todo movimiento circular de un punto hay una aceleración aplicada a él y dirigida al centro del círculo de magnitud:

a = v2 / r        (ecuación 11)

Pues bien, la segunda ley de Newton plantea una importante relación entre la fuerza aplicada a un cuerpo, F, su masa, m,  y la aceleración que recibe, a:

F = ma     (ecuación 13)

Sustituyendo la aceleración en la ecuación 13 por la ecuación 11 tenemos que:

ecuacion15 (ecuación 14)

La fuerza apunta hacia el centro del círculo como habíamos notado en el ejemplo del niño arriba. Las fuerzas que apuntan hacia el centro de un círculo se llaman fuerzas centrípetas y las aceleraciones que tienen esa misma dirección aceleraciones centrípetas.

Las fuerzas centrípetas son las responsables de los movimientos circulares. Así, si atamos una piedra al extremo de una cuerda y la hacemos rotar como una honda horizontalmente a nuestro alrededor, la fuerza centrípeta se manifiesta como tensión en la cuerda, y a través de ella, es que se mantiene el movimiento circular de la piedra. Si la cuerda se rompe, la fuerza centrípeta desaparece, la aceleración cesa, y por tanto la piedra continuará en un movimiento rectilíneo.

Es bueno aclarar que la fuerza centrípeta es constante en magnitud, pero no es una fuerza constante, su dirección cambia para cada instante, de manera que barre el círculo completo en cada revolución, lo mismo que la aceleración.

Las fueras del tipo, tensión en una cuerda, no son las únicas que mantienen un movimiento circular. Si colocamos un objeto pesado sobre un disco que gira, la fuerza de rozamiento entre el objeto y el disco puede mantenerlos girando juntos. También la fuerza de rozamiento entre las ruedas de un automóvil y el pavimento pueden permitir la toma de las curvas, es decir cambiar el movimiento rectilíneo a circular.

Si consideramos el giro circular de la luna alrededor de la Tierra, ¿Es la fuerza de la gravedad una fuerza centrípeta?.

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